ECUACIONES DIFERENCIALES Competencias: Capacidad de resolver problemas con iniciativa, toma de decisiones, creatividad, razonamiento crítico y de comunicar y transmitir conocimientos, habilidades y destrezas en el campo de la Ingeniería. Conocimiento en materias básicas y tecnológicas, que les capacite para el aprendizaje de nuevos métodos y teorías, y les dote de versatilidad para adaptarse a nuevas situaciones. Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal; geometría; geometría diferencial; cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización. Competencias transversal: Análisis y resolución de problemas. Motivación Cómo sobrevivir a un ataque zombie ¡Con las mates! Modelos matemáticos para entender el funcionamiento del sistema inmunológico Computación y matemáticas contra el cáncer. Modelización matemática Solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden Propuesta de metodología a seguir para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y primer grado Esquema de resolución para las ecuaciones diferenciales de primer orden Solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Aplicación con Mathematica Solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Aplicación con Mathematica Ecuación diferencial exacta. Factor Integrante. Aplicación con Mathematica Resolución de Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Solución general de una ecuación diferencial ordinaria de orden n Solución de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de 2º orden con coeficientes constantes Solución particular de las ecuaciones diferenciales lineales de 2º orden con coeficientes constantes Método de Euler. Laboratorio Virtual Solución general de una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Aplicaciones con Mathematica Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden n. Ejemplos con Mathematica Ecuación diferencial de orden 4. Ejemplo Ecuación diferencial de 2º orden. Ejemplo Ecuación diferencial de 2º orden. Ejemplo 2 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales. Sistemas homogéneos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Aplicación con Mathematica. Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Ejemplos con Mathematica Resolución de Ecuaciones Diferenciales. Métodos Numéricos Métodos numéricos para problemas de valores iniciales. Aplicaciones con Mathematica Método de Picard para la resolución de un PVI de EDO’s de orden 1: ejemplo Método de Euler para resolver un PVI de EDO’s de orden 1: ejemplo Método Runge-Kutta para la resolución de EDO’s de orden 1: ejemplo Métodos de Runge-Kutta. Desarrollo y aplicación del Runge-Kutta de orden 2 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales. Resolución numérica Resolución de Ecuaciones Diferenciales. Transformada de Laplace La transformada de Laplace es un operador que convierte una función real en otra compleja, a través de una integral impropia (transformación integral). Es una herramienta muy útil para resolver problemas de ecuaciones diferenciales ya que la transformada de Laplace permite simplificar estas ecuaciones en ecuaciones algebraicas cuya solución es mucho más sencilla y a través de la transformada inversa obtener la solución de la ecuación diferencial original. Este operador constituye una herramienta básica para el análisis y diseño de sistemas en ingeniería, ya que un adecuado análisis de cada sistema conduce al modelo matemático que describe las interacciones que se producen en él, a través de su función de transferencia asociada, definida como el cociente de la transformada de Laplace de las ecuaciones diferenciales que caracterizan las señales de salida y de entrada. En este tema definimos el operador transformada de Laplace y analizamos sus propiedades más importantes. Transformada de Laplace. Apuntes Transformada de Laplace en la resolución de una ecuación diferencial. Ejemplo con Mathematica Transformada directa e inversa de Laplace con Mathematica Transformada de Laplace. Análisis de integradores y derivadores. Aplicación a la ingeniería electrónica Transformada de Laplace desde cero 1 Transformada de Laplace desde cero 2 Transformada de Laplace desde cero 3 Teorema de Traslación en la Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace 1 Transformada inversa de Laplace 2